Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} = 11$

Paso 1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - 3, x - 9, 1, 1$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $x - 3$ es $x - 3$ en sí mismo.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $x - 9$ es $x - 9$ en sí mismo.

$(x - 9) = x - 9$

$(x - 9)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El MCM de $x - 3, x - 9$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x - 3) (x - 9)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ por $(x - 3) (x - 9)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ por $(x - 3) (x - 9)$ .

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x - 9 - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $x - 9$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x - 9}$ al numerador.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza $x - 9$ de $(x - 3) (x - 9)$ .

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$x - 9 - (x - 3) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 9 - x - - 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.5

Expande $(x - 3) (x - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x (x - 9) - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.6.1.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.6.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 9$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.6.2

Resta $3 x$ de $- 9 x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 12 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} - 11 (- 12 x) - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.8

Simplifica.

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Paso 3.2.1.8.1

Multiplica $- 12$ por $- 11$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.1.8.2

Multiplica $- 11$ por $27$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$0 - 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $9$ de $0$ .

$- 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.2.1

Suma $- 9$ y $3$ .

$- 6 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.2.2.2.2

Resta $297$ de $- 6$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Expande $(x - 3) (x - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x (x - 9) - 3 (x - 9))$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9))$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Paso 3.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Paso 3.3.2.1.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9)$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 9$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27)$

Paso 3.3.2.2

Resta $3 x$ de $- 9 x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 12 x + 27)$

Paso 3.3.3

Multiplica $0$ por $x^{2} - 12 x + 27$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2

Sustituye los valores $a = - 11$ , $b = 132$ y $c = - 303$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 132 \pm \sqrt{132^{2} - 4 \cdot (- 11 \cdot - 303)}}{2 \cdot - 11}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $132$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 4 \cdot - 11 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 11 \cdot - 303$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 + 44 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $44$ por $- 303$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 13332}}{2 \cdot - 11}$

Paso 4.3.1.3

Resta $13332$ de $17424$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4092}}{2 \cdot - 11}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $4092$ como $2^{2} \cdot 1023$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $4092$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4 (1023)}}{2 \cdot - 11}$

Paso 4.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1023}}{2 \cdot - 11}$

Paso 4.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{2 \cdot - 11}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$

Paso 4.3.3

Simplifica $\frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$ .

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Paso 4.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{66 + \sqrt{1023}}{11}, \frac{66 - \sqrt{1023}}{11}$

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

Forma decimal:

$x = 8.90767010 \dots, 3.09232989 \dots$